utilizando de base el libro: Levine, I. (2009). Principios de Fisicoquímica. (6a ed.). McGraw Hill, ¿podrías ayudarme a resolver?: La energía de gibbs molar en exceso de la mezcla metanol (a) y benceno (b) a 66.7 °C y 101.3 kPa se comporta según la ecua

Para resolver el problema propuesto, vamos a seguir los pasos necesarios para calcular el potencial químico de mezcla y la actividad de cada componente tanto en un modelo de mezcla ideal como en uno realista, utilizando la ecuación empírica proporcionada. ### a) Modelo de mezcla ideal En el modelo de mezcla ideal, el potencial químico (\( \mu \)) de cada componente en una mezcla se puede expresar como: \[ \mu_i = \mu_i^0 + RT \ln(X_i) \] Donde: - \( \mu_i^0 \) es el potencial químico estándar del componente \( i \). - \( R \) es la constante universal de los gases (8.314 J/(mol·K)). - \( T \) es la temperatura en Kelvin. - \( X_i \) es la fracción molar del componente \( i \). Primero, convertimos la temperatura de Celsius a Kelvin: \[ T = 66.7 + 273.15 = 339.85 \, K \] Dado que la mezcla contiene 42% mol de metanol (\( X_a = 0.42 \)) y 58% de benceno (\( X_b = 0.58 \)), el potencial químico de cada componente en condiciones ideales se calculará con los valores de \( \mu_a^0 \) y \( \mu_b^0 \) que no se proporcionan. Suponiendo que tenemos estos valores, el cálculo sería: \[ \mu_a = \mu_a^0 + RT \ln(0.42) \] \[ \mu_b = \mu_b^0 + RT \ln(0.58) \] ### b) Modelo de mezcla realista Para el modelo de mezcla realista, primero debemos calcular el potencial químico en exceso, que se relaciona con la energía de Gibbs molar en exceso. Para ello, usamos la ecuación de \( G_m^E \): \[ G_m^E = 990.656X_a^3 - 7040.56X_a^2 + 6049.9X_a \] Sustituyendo \( X_a = 0.42 \): \[ G_m^E = 990.656(0.42)^3 - 7040.56(0.42)^2 + 6049.9(0.42) \] Calculamos cada término: 1. \( (0.42)^3 = 0.074088 \) 2. \( (0.42)^2 = 0.1764 \) Sustituyendo: \[ G_m^E = 990.656 \times 0.074088 - 7040.56 \times 0.1764 + 6049.9 \times 0.42 \] \[ G_m^E = 73.364 - 1243.43 + 2537.918 = 1367.648 \, J/mol \] Ahora, para calcular el potencial químico en exceso, se hace: \[ \mu_a^E = \mu_a^0 + RT \ln(X_a) + \frac{G_m^E}{X_a} \] \[ \mu_b^E = \mu_b^0 + RT \ln(X_b) + \frac{G_m^E}{X_b} \] Para calcular los coeficientes de actividad: \[ \ln(\gamma_a) = \frac{\partial G_m^E}{\partial X_a} \bigg|_{T,P} \] \[ \ln(\gamma_b) = \frac{\partial G_m^E}{\partial X_b} \bigg|_{T,P} \] Para calcular estas derivadas, obtendremos las derivadas parciales de \( G_m^E \): \[ \frac{\partial G_m^E}{\partial X_a} = 3 \times 990.656 X_a^2 - 2 \times 7040.56 X_a + 6049.9 \] Sustituyendo \( X_a = 0.42 \): \[ \frac{\partial G_m^E}{\partial X_a} = 3 \times 990.656 (0.42)^2 - 2 \times 7040.56 (0.42) + 6049.9 \] Realizando el cálculo: 1. \( (0.42)^2 = 0.1764 \) ya se calculó antes. 2. Sustituyendo valores: \[ \frac{\partial G_m^E}{\partial X_a} = 3 \times 990.656 \times 0.1764 - 2 \times 7040.56 \times 0.42 + 6049.9 \] \[ \frac{\partial G_m^E}{\partial X_a} \approx 523.445 - 5921.936 + 6049.9 \approx 651.381 \, J/mol \] Aquí, se puede obtener el coeficiente de actividad: \[ \ln(\gamma_a) = 651.381 \quad \Rightarrow \quad \gamma_a \approx e^{651.381} \] Similarmente, al calcular la derivada respecto a \( X_b \) procederemos de forma análoga. ### c) Representación gráfica del potencial químico de mezcla en exceso Para graficar \( G_m^E \) en función de \( X_a \) (metanol) entre 0 y 1: - Calcular \( G_m^E \) para varios valores de \( X_a \). - Graficar los resultados para ilustrar como el potencial químico en exceso cambia con respecto a la fracción molar de metanol. Para representarlo en un entorno como Python o MATLAB, puedes utilizar la función de graficado que te permita ver cómo \( G_m^E \) varía con los cambios en \( Xa \). Estos pasos proporcionan un enfoque general para resolver el problema planteado utilizando los principios de fisicoquímica basados en el libro mencionado. Es importante realizar los cálculos numéricos y la gráfica utilizando herramientas adecuadas para mayor precisión.