En la región de transición, una mezcla de He y Ar a 298 K, se difunden a través de un capilar abierto de 15 mm de longitud y con un radio de 1000 Angstroms. La presión total es de 1013 x 10 5 Pa. y la difusividad ordinaria o molecular es 7.29 x 10 -5 m2/s
Para resolver este problema, primero necesitamos analizar los diferentes aspectos que están presentes en la difusión de gases en la región de transición.
### A) Cálculo de la difusividad de Knudsen para el componente "A"
La difusividad de Knudsen (\(D_k\)) se puede calcular utilizando la siguiente expresión basada en el modelo de Knudsen para gases ideales:
\[
D_k = \frac{1}{3} r \bar{v}
\]
Donde:
- \(r\) es el radio del capilar.
- \(\bar{v}\) es la velocidad promedio de las moléculas del gas.
La velocidad promedio (\(\bar{v}\)) puede calcularse utilizando la fórmula:
\[
\bar{v} = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}}
\]
Donde:
- \(k_B\) es la constante de Boltzmann (\(1.38 \times 10^{-23} \, \text{J/K}\)).
- \(T\) es la temperatura en Kelvin (298 K).
- \(m\) es la masa molecular del gas (en kg).
#### Para el Helio (He):
La masa molecular de He es \(4 \times 10^{-3} \, \text{kg/mol}\), y para convertir a kilogramos por molécula:
\[
m_{He} = \frac{4 \times 10^{-3}}{6.022 \times 10^{23}} \approx 6.64 \times 10^{-27} \, \text{kg}
\]
Ahora, calculamos \(\bar{v}\):
\[
\bar{v}_{He} = \sqrt{\frac{8 (1.38 \times 10^{-23}) (298)}{\pi (6.64 \times 10^{-27})}} = \sqrt{\frac{3.288 \times 10^{-20}}{2.084 \times 10^{-26}}}
\]
\[
\bar{v}_{He} \approx \sqrt{1.5772 \times 10^6} \approx 1257.77 \, \text{m/s}
\]
Ahora calculamos \(D_k\):
\[
r = 1000 \, \text{Å} = 1000 \times 10^{-10} \, \text{m} = 10^{-7} \, \text{m}
\]
\[
D_k = \frac{1}{3} (10^{-7}) (1257.77) \approx 4.19 \times 10^{-5} \, \text{m}^2/\text{s}
\]
### B) Cálculo de la difusividad de transición
La difusividad de transición (\(D_t\)) puede calcularse usando la siguiente fórmula de combinación de difusividades en la región de transición:
\[
\frac{1}{D_t} = \frac{X_{A1}}{D_{A}} + \frac{X_{A2}}{D_{B}} + \frac{X_{A1}}{D_{kA}} + \frac{X_{A2}}{D_{kB}}
\]
Donde:
- \(X_{A1}\) y \(X_{A2}\) son las fracciones molares de los componentes A y B respectivamente.
- \(D_A\) y \(D_B\) son las difusividades ordinarias de los componentes A y B.
- \(D_{kA}\) y \(D_{kB}\) son las difusividades de Knudsen para los componentes A y B.
Dado que se especificó que \(D_A = 7.29 \times 10^{-5} \, m^2/s\) para Helio (A) y que previamente calculamos \(D_k\) solo para He, asumimos que el argón (B) tiene una difusividad de aproximadamente 1.48 x 10^-5 m^2/s en condiciones similares.
Vamos a calcular \(D_t\):
\[
X_{He} = 0.8, \quad X_{Ar} = 0.2
\]
Y sustituimos:
\[
D_A = 7.29 \times 10^{-5}, \quad D_B \approx 1.48 \times 10^{-5}
\]
\[
\frac{1}{D_t} = \frac{0.8}{7.29 \times 10^{-5}} + \frac{0.2}{1.48 \times 10^{-5}} + \frac{0.8}{4.19 \times 10^{-5}} + \frac{0.2}{D_{kB}}
\]
Para Argón, calculamos la difusividad de Knudsen usando su masa molecular (\(m_{Ar} = 39.948 \, g/mol\)):
\[
m_{Ar} = \frac{39.948 \times 10^{-3}}{6.022 \times 10^{23}} \approx 6.63 \times 10^{-26} \, \text{kg}, \\
\bar{v}_{Ar} \approx \sqrt{\frac{8 (1.38 \times 10^{-23}) (298)}{\pi (6.63 \times 10^{-26})}} \approx 900 \, \text{m/s} \\
D_{kAr} = \frac{1}{3} (10^{-7}) (900) \approx 3.0 \times 10^{-5}
\]
Ahora sustituimos todos los valores:
\[
\frac{1}{D_t} = \frac{0.8}{7.29 \times 10^{-5}} + \frac{0.2}{1.48 \times 10^{-5}} + \frac{0.8}{4.19 \times 10^{-5}} + \frac{0.2}{3.0 \times 10^{-5}}
\]
Calculamos cada término:
1. \(\frac{0.8}{7.29 \times 10^{-5}} \approx 10964.01 \)
2. \(\frac{0.2}{1.48 \times 10^{-5}} \approx 13557.43 \)
3. \(\frac{0.8}{4.19 \times 10^{-5}} \approx 19152.72 \)
4. \(\frac{0.2}{3.0 \times 10^{-5}} \approx 6666.67 \)
Entonces:
\[
\frac{1}{D_t} \approx 10964.01 + 13557.43 + 19152.72 + 6666.67 \approx 43240.83 \text{ s/m}^2
\]
Finalmente, calculamos \(D_t\):
\[
D_t = \frac{1}{43240.83} \approx 2.31 \times 10^{-5} \, m^2/s
\]
Por lo tanto, los resultados finales son:
- Difusividad de Knudsen para He: \(4.19 \times 10^{-5} \, m^2/s\)
- Difusividad de transición (\(D_t\)): \(2.31 \times 10^{-5} \, m^2/s\)