دالة اشباع : UT=2X3/2Y1/2 (X):Px=9 (Y):Py=3 R=480 احسب قيم توازن هذا المستهلك اثبت رياضيا ان دالة الاشباع تتحذ وضع التعظيم وان قيم التوازن هي قيم ذات الدالة ما قيمة المنفعة الكلية التي يتحصل عليها هذا المستهلك لاستهلاكه السلعتين YوX احسب المن

لحساب قيم التوازن لهذا المستهلك، نستخدم دالة الإشباع المعطاة: \[ U = 2X^{3/2}Y^{1/2} \] حيث \(P_X = 9\) و\(P_Y = 3\) والدخل \(R = 480\). ### 1. حساب قيود الميزانية: يمكن كتابة معادلة الميزانية كما يلي: \[ P_X \cdot X + P_Y \cdot Y = R \] وبالتعويض بالقيم المعطاة: \[ 9X + 3Y = 480 \] ### 2. حل معادلة الميزانية: من معادلة الميزانية، يمكننا التعبير عن \(Y\) من حيث \(X\): \[ 3Y = 480 - 9X \] \[ Y = \frac{480 - 9X}{3} = 160 - 3X \] ### 3. حساب المنفعة الحدية: لحساب نقطة التوازن، نقوم بخطوتين: حساب المنفعة الحدية للسلعتين \(X\) و\(Y\): \[ MU_X = \frac{\partial U}{\partial X} = 2 \cdot \frac{3}{2} X^{1/2} Y^{1/2} = 3X^{1/2}Y^{1/2} \] \[ MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = 2 \cdot \frac{1}{2} X^{3/2} Y^{-1/2} = X^{3/2} Y^{-1/2} \] ### 4. حساب نسبة المنفعة الحدية: نستخدم شرط تساوي نسبة المنفعة الحدية إلى سعر كل سلعة: \[ \frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{P_X}{P_Y} \] أي: \[ \frac{3X^{1/2} Y^{1/2}}{X^{3/2} Y^{-1/2}} = \frac{9}{3} \] نحسب النسبة: \[ \frac{3Y}{X} = 3 \] \[ Y = X \] ### 5. التعويض في معادلة الميزانية: نعوض في معادلة الميزانية: \[ 9X + 3Y = 480 \] \[ 9X + 3X = 480 \] \[ 12X = 480 \] \[ X = 40 \] وبالتعويض عن \(X\): \[ Y = 40 \] ### 6. حساب المنفعة الكلية: نعود إلى دالة الإشباع لنحسب المنفعة الكلية: \[ U = 2 \times (40)^{3/2} \times (40)^{1/2} \] \[ U = 2 \times (40^{2}) \times (40^{1/2}) = 2 \times 1600 \times 6.325 \approx 20200 \] ### النتيجة النهائية: - قيم التوازن: \(X = 40\) و\(Y = 40\) - المنفعة الكلية التي يتحصل عليها المستهلك: تقريباً 20200.