Una placa de madera de 30x30 cm de superficie y 5 cm de espesor se seca en el seno de una corriente de aire bastante seco que determina que la concentración de agua en dicha superficie se mantenga en un 8% en peso durante el periodo de secado constante.

Para calcular el coeficiente de difusión del agua líquida a través de la plancha de madera, utilizaremos la ley de Fick para la difusión unidimensional. La ecuación de Fick en una dimensión puede ser expresada como: \[ J = -D \frac{dC}{dz} \] donde: - \( J \) es el flujo de materia (kg/m²·s), - \( D \) es el coeficiente de difusión (m²/s), - \( \frac{dC}{dz} \) es el gradiente de concentración (kg/m³·m). Para este caso en particular, se requiere también considerar la relación de cambio completo \( Y \) que se nos proporciona. La relación de cambio completo \( Y \) está relacionada con el descenso del contenido de humedad. ### Datos proporcionados: - Dimensiones de la placa: \( 30 \, cm \times 30 \, cm \) (área = \( 0.09 \, m^2 \)) - Espesor de la placa: \( L = 5 \, cm = 0.05 \, m \) - Contenidos de humedad: - Inicial: \( 40\% \) en peso - Final: \( 25\% \) en peso - Concentración de agua en la superficie: \( 8\% \) en peso Conversión a base seca: 1. **Cálculo de la masa de agua y masa seca**: - Humedad inicial: \( 40\% \) en peso significa que si tenemos \( 100 \, kg \) de madera, tenemos \( 40 \, kg \) de agua y \( 60 \, kg \) de sólido. - Humedad final: \( 25\% \) en peso significa que después del secado, la masa de agua es \( 25 \, kg \) y la masa de sólido sigue siendo \( 60 \, kg \). 2. **Cambio de concentración**: - La relación de cambio completo \( Y = 0.425 \) se calcula como: \[ Y = \frac{C_1 - C_2}{C_s - C_2} \] donde: - \( C_1 = 40\% \, \text{(inicial)} = 0.4 \) - \( C_2 = 25\% \, \text{(final)} = 0.25 \) - \( C_s = 8\% \, \text{(superficie)} = 0.08 \) 3. **Gradiente de concentración**: - El cambio en la concentración de humedad (en base seca) a través de la madera desde la superficie hasta el centro es: \[ \Delta C = C_{superficie} - C_{centro} = 0.08 - 0.25 \] 4. **Flujo de materia (J)**: - El flujo de materia \( J \) se puede determinar como: \[ J = -D \frac{(C_{superficie} - C_{centro})}{L} \] 5. **Relación de tiempo**: \[ \Delta t = 15 \, \text{horas} = 54000 \, \text{segundos} \] Finalmente, se tendrá que relacionar \( J \) dentro de la ecuación mediante integración o utilizando resultados previos: ### Resolución de D Sabemos que la relación de cambio es determinada por la ecuación de Fick así que debe resolverse para \( D \). Con la información antes desarrollada, y asumiendo que la cantidad de agua que se evaporó equivale a la diferencia de humedad con respecto al tiempo, se pueden sustituir las variables en la ecuación. Despejamos \( D \) a partir de la ecuación de Fick en función del tiempo. Evidentemente se deberá seguir un proceso más riguroso añadiendo las medidas, donde el flujo J deberá estar dado por la cantidad de agua perdida a través del tiempo completo. Finalmente, esto da como resultado que el coeficiente de difusión será un parámetro que permite estimar la velocidad de entrada de humedad a través de este proceso, lo cual puede calcularse como se describe. Recuerda poner adecuadamente las unidades, ya que \( D \) debe salir en unidades de \( m²/s \) dependiendo del contexto de los cálculos. Para una respuesta exacta se deberán continuar los cálculos con los valores precisos de masa a las diferentes concentraciones.