Un tren parte de una estación y viaja hacia el este a una velocidad constante de 60 km/h. Después de 2 horas, otro tren parte de la misma estación y viaja hacia el oeste a una velocidad constante de 75 km/h. ¿Cuánto tiempo pasará antes de que los dos tren

Para resolver este problema, primero determinaremos la distancia que recorre cada tren hasta que la distancia total entre ellos sea de 300 kilómetros. 1. **Primera parte - Distancia del primer tren:** - El primer tren viaja hacia el este a 60 km/h y sale 2 horas antes que el segundo tren. En esas 2 horas, el primer tren recorre: \[ \text{Distancia del primer tren en 2 horas} = 60 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 120 \, \text{km}. \] 2. **Segunda parte - Comienzo del segundo tren:** - Luego, el segundo tren parte hacia el oeste a 75 km/h. Después de que el segundo tren ha comenzado a moverse, ambos trenes están en movimiento. - Sea \( t \) el tiempo en horas que pasa desde que el segundo tren sale hasta que la distancia entre los dos trenes alcanza los 300 km. 3. **Tercera parte - Distancia recorrida después de que ambos trenes han salido:** - Durante el tiempo \( t \), el primer tren seguirá moviéndose hacia el este: \[ \text{Distancia del primer tren} = 60 \, \text{km/h} \times t. \] - El segundo tren viajará hacia el oeste: \[ \text{Distancia del segundo tren} = 75 \, \text{km/h} \times t. \] 4. **Cuarta parte - Distancia total entre los trenes:** - La distancia total entre los trenes es la suma de las distancias que han recorrido: \[ \text{Distancia total} = 120 \, \text{km} + (60 \, \text{km/h} \times t) + (75 \, \text{km/h} \times t). \] - Simplificando la distancia total: \[ \text{Distancia total} = 120 \, \text{km} + (60 + 75) \, \text{km/h} \times t = 120 + 135t. \] 5. **Quinta parte - Igualando a 300 km:** - Necesitamos que la distancia total sea igual a 300 km: \[ 120 + 135t = 300. \] 6. **Sexta parte - Resolviendo para \( t \):** - Restamos 120 de ambos lados: \[ 135t = 300 - 120, \] \[ 135t = 180. \] - Dividimos ambos lados por 135: \[ t = \frac{180}{135} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \, \text{horas}. \] Por lo tanto, el tiempo que pasará desde que el segundo tren sale hasta que los dos trenes estén a 300 kilómetros uno del otro es de \(\frac{4}{3}\) horas, que equivale a 1 hora y 20 minutos. **Respuesta final:** 1 hora y 20 minutos. Update (2025-09-13): Para resolver el problema, primero determinamos la distancia que ha recorrido el primer tren antes de que parta el segundo tren. El primer tren viaja a 60 km/h y parte 2 horas antes que el segundo tren. Por lo tanto, en esas 2 horas, el primer tren recorrerá: \[ \text{Distancia del primer tren} = \text{velocidad} \times \text{tiempo} = 60 \, \text{km/h} \times 2 \, \text{h} = 120 \, \text{km} \] Cuando el segundo tren comienza su viaje, el primer tren ya está 120 km hacia el este. Ahora, consideremos el movimiento de ambos trenes. Denotemos \( t \) como el tiempo en horas que ha pasado desde que el segundo tren comenzó a moverse. Durante ese tiempo, el primer tren también se está moviendo hacia el este. La distancia que recorre el primer tren en \( t \) horas es: \[ \text{Distancia del primer tren en } t \text{ horas} = 60 \, \text{km/h} \times t \] Por lo tanto, la distancia total que el primer tren ha recorrido desde que comenzó su viaje (incluyendo las 2 horas antes) es: \[ \text{Distancia total del primer tren} = 120 \, \text{km} + 60 \, \text{km/h} \times t \] El segundo tren, que se dirige hacia el oeste, recorrerá una distancia de: \[ \text{Distancia del segundo tren} = 75 \, \text{km/h} \times t \] La distancia total entre los dos trenes, cuando ambos se están moviendo, es la suma de las distancias recorridas (ya que se mueven en direcciones opuestas): \[ \text{Distancia total} = (120 \, \text{km} + 60 \, \text{km/h} \times t) + (75 \, \text{km/h} \times t) \] Simplificando esto: \[ \text{Distancia total} = 120 \, \text{km} + (60 + 75) \, t = 120 \, \text{km} + 135 \, t \] Queremos que esta distancia total sea igual a 300 km: \[ 120 \, \text{km} + 135 \, t = 300 \, \text{km} \] Restamos 120 km de ambos lados: \[ 135 \, t = 300 \, \text{km} - 120 \, \text{km} \] \[ 135 \, t = 180 \, \text{km} \] Ahora, despejamos \( t \): \[ t = \frac{180 \, \text{km}}{135 \, \text{km/h}} = \frac{180}{135} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} \, \text{h} \] Esto equivale a 1 hora y 20 minutos. Por lo tanto, el tiempo que pasará antes de que los dos trenes estén a 300 kilómetros uno del otro es: \[ \text{1 hora y 20 minutos} \]