Tinc un problema matemàtic, el problema és el següent: Tinc una tira llarga de paper de 1270mm i la vull dividir el 40 parts. Dibuixaré una ratlla vertical a sobre la cinta per separar els trossets de cinta. El primer trosset i l'ultim trosset tenen la ma

Per resoldre aquest problema, hem de tenir en compte que volem dividir una tira de paper de 1270 mm en 40 parts, les quals inclouen: - 1 primer trosset (a). - 1 últim trosset (a). - 38 trossets intermitjos (b). Podem expressar la relació dels trossos en una equació. La suma total de les llargades ha de ser igual a 1270 mm: \[ 2a + 38b = 1270 \] A més, volem que: - \( a \) i \( b \) siguin enters positius. - \( a \neq b \). - La diferència \( |a - b| \) sigui mínima. Ara, primer aïllem una de les variables. D'aquesta equació, podem expressar \( b \): \[ 38b = 1270 - 2a \] \[ b = \frac{1270 - 2a}{38} \] Perquè \( b \) sigui un enter, \( 1270 - 2a \) ha de ser divisible per 38. Cal calcular \( 1270 \mod 38 \) i veure com podem ajustar \( a \) per aconseguir que la resta, que és \( 1270 - 2a \), sigui múltiple de 38. Fent les operacions: \[ 1270 \div 38 \approx 33.42 \] \[ 38 \times 33 = 1254 \] \[ 1270 - 1254 = 16 \] Així que: \[ 1270 \mod 38 = 16 \] Per tant, necessitem que \( 2a \mod 38 \equiv 16 \). Això implica: \[ 2a \equiv 16 \mod 38 \] \[ a \equiv 8 \mod 19 \] Això vol dir que \( a \) pot ser igual a 8, 27, 46, ..., i així successivament. Ara revisarem totes aquestes opcions per trobar la que minimitza \( |a - b| \) i que sigui diferent: 1. **Si \( a = 8 \)**: \[ b = \frac{1270 - 2 \times 8}{38} = \frac{1270 - 16}{38} = \frac{1254}{38} = 33 \] Aquí, \( |8 - 33| = 25 \). 2. **Si \( a = 27 \)**: \[ b = \frac{1270 - 2 \times 27}{38} = \frac{1270 - 54}{38} = \frac{1216}{38} = 32 \] Aquí, \( |27 - 32| = 5 \). 3. **Si \( a = 46 \)**: \[ b = \frac{1270 - 2 \times 46}{38} = \frac{1270 - 92}{38} = \frac{1178}{38} = 31 \] Aquí, \( |46 - 31| = 15 \). 4. **Si \( a = 65 \)**: \[ b = \frac{1270 - 2 \times 65}{38} = \frac{1270 - 130}{38} = \frac{1140}{38} = 30 \] Aquí, \( |65 - 30| = 35 \). 5. **Si \( a = 84 \)**: \[ b = \frac{1270 - 2 \times 84}{38} = \frac{1270 - 168}{38} = \frac{1102}{38} = 29 \] Aquí, \( |84 - 29| = 55 \). Després de calcular, veiem que la combinació que minimiza la diferència és: - \( a = 27 \) - \( b = 32 \) Per tant, la longitud adequada del primer i últim trosset (a) és **27 mm**, i la longitud dels trossets del mig (b) és **32 mm**.