On donne l’équation différentiel suivante : Y’= y + e2x Y (0) =2 Résoudre la solution exacte : yexacte= ex + e2x 1- On prend : h=0.1, faire une itération de la méthode d’Euler – Cauchy (Euler modifiée) et calculer l’erreur commise s

Pour résoudre l'équation différentielle \( Y' = y + e^{2x} \) avec la condition initiale \( Y(0) = 2 \), nous allons d'abord confirmer la solution exacte. La solution exacte donnée est : \[ y_{\text{exacte}} = e^x + e^{2x} \] ### 1. Méthode d'Euler-Cauchy (Euler modifiée) avec \( h = 0.1 \) L'itération de la méthode d'Euler-Cauchy est donnée par : 1. Calculer la pente à partir du point courant : \[ f(x_n, y_n) = y_n + e^{2x_n} \] où \( y_n \) est la solution à l'itération précédente et \( x_n \) est le point courant. 2. Calculer la prédiction \( \tilde{y}_{n+1} \) : \[ \tilde{y}_{n+1} = y_n + h f(x_n, y_n) \] 3. Calculer la pente au nouveau point : \[ f(x_{n+1}, \tilde{y}_{n+1}) = \tilde{y}_{n+1} + e^{2x_{n+1}} \] 4. Mettre à jour la solution : \[ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} \left[ f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, \tilde{y}_{n+1}) \right] \] #### Initialisation - \( y(0) = 2 \) - \( x_0 = 0 \) - \( h = 0.1 \) #### Étape 1 (première itération) 1. Calcul de \( f(x_0, y_0) \) : \[ f(0, 2) = 2 + e^{0} = 3 \] 2. Prédiction \( \tilde{y}_1 \) : \[ \tilde{y}_1 = 2 + 0.1 \cdot 3 = 2 + 0.3 = 2.3 \] 3. Calcul de \( f(x_1, \tilde{y}_1) \) : \[ f(0.1, 2.3) = 2.3 + e^{0.2} \approx 2.3 + 1.2214 \approx 3.5214 \] 4. Mettre à jour la solution : \[ y_1 = 2 + \frac{0.1}{2} \left[ 3 + 3.5214 \right] = 2 + 0.05(6.5214) \approx 2 + 0.32607 \approx 2.32607 \] #### Calcul de l'erreur Calcul de la solution exacte à \( x = 0.1 \): \[ y_{\text{exacte}}(0.1) = e^{0.1} + e^{0.2} \approx 1.1052 + 1.2214 \approx 2.3266 \] Erreur commise : \[ \text{Erreur} = |y_1 - y_{\text{exacte}}(0.1)| = |2.32607 - 2.3266| \approx 0.00053 \] --- ### 2. Pour \( h = 0.05 \), faire deux itérations #### Initialisation - \( y(0) = 2 \) - \( x_0 = 0 \) - \( h = 0.05 \) #### Étape 1 (première itération) 1. \( f(0, 2) = 3 \) 2. Prédiction \( \tilde{y}_1 \) \[ \tilde{y}_1 = 2 + 0.05 \cdot 3 = 2 + 0.15 = 2.15 \] 3. \( f(0.05, 2.15) = 2.15 + e^{0.1} \approx 2.15 + 1.1052 \approx 3.2552 \) 4. Mise à jour \[ y_1 = 2 + \frac{0.05}{2}(3 + 3.2552) = 2 + 0.025(6.2552) \approx 2 + 0.15638 \approx 2.15638 \] #### Étape 2 (deuxième itération) 1. \( f(0.05, 2.15638) \approx 3.26155 \) 2. Prédiction \( \tilde{y}_2 \) \[ \tilde{y}_2 = 2.15638 + 0.05 \cdot 3.26155 \approx 2.15638 + 0.1630775 \approx 2.3194575 \] 3. \( f(0.1, 2.3194575) \approx 3.5329852 \) 4. Mise à jour \[ y_2 = 2.15638 + \frac{0.05}{2}(3.26155 + 3.5329852) \approx 2.15638 + 0.025 \cdot 6.7945352 \approx 2.15638 + 0.16986338 \approx 2.32624338 \] #### Calcul de l'erreur Calcul de la solution exacte à \( x = 0.1 \) déjà fait : \[ y_{\text{exacte}}(0.1) \approx 2.3266 \] Erreur commise : \[ |\text{Erreur}| = |y_2 - y_{\text{exacte}}(0.1)| \approx |2.32624338 - 2.3266| \approx 0.00035662 \] ### Résumé des résultats : 1. Pour \( h = 0.1 \) : erreur \( \approx 0.00053 \) 2. Pour \( h = 0.05 \) : erreur \( \approx 0.00035662 \)