El dueño de un negocio de cabinas telefónicas desea hacer un estudio de la duración en minutos de las diferentes llamadas que se realizan en un día. La siguiente tabla de frecuencia muestra la duración de 60 llamadas telefónicas. Duración en minut

Para calcular la media de un conjunto de datos agrupados, se puede usar la siguiente fórmula: \[ \text{Media} = \frac{\sum (f_i \cdot x_i)}{N} \] donde \(f_i\) es la frecuencia de cada intervalo y \(x_i\) es el punto medio de cada intervalo, y \(N\) es el total de observaciones. Primero, vamos a calcular el punto medio \(x_i\) para cada intervalo: - Para el intervalo [0 – 2,5): \(x_1 = \frac{0 + 2.5}{2} = 1.25\) - Para el intervalo [2,5 – 5): \(x_2 = \frac{2.5 + 5}{2} = 3.75\) - Para el intervalo [5 – 7,5): \(x_3 = \frac{5 + 7.5}{2} = 6.25\) - Para el intervalo [7,5 – 10): \(x_4 = \frac{7.5 + 10}{2} = 8.75\) - Para el intervalo [10 – 12,5): \(x_5 = \frac{10 + 12.5}{2} = 11.25\) Ahora calculamos \(f_i \cdot x_i\) para cada intervalo: - Para [0 – 2,5): \(f_1 \cdot x_1 = 10 \cdot 1.25 = 12.5\) - Para [2,5 – 5): \(f_2 \cdot x_2 = 14 \cdot 3.75 = 52.5\) - Para [5 – 7,5): \(f_3 \cdot x_3 = 16 \cdot 6.25 = 100\) - Para [7,5 – 10): \(f_4 \cdot x_4 = 11 \cdot 8.75 = 96.25\) - Para [10 – 12,5): \(f_5 \cdot x_5 = 9 \cdot 11.25 = 101.25\) Ahora sumamos estos valores: \[ \sum (f_i \cdot x_i) = 12.5 + 52.5 + 100 + 96.25 + 101.25 = 362.5 \] El total de llamadas \(N\) es 60. Ahora podemos calcular la media: \[ \text{Media} = \frac{362.5}{60} \approx 6.04 \] Por lo tanto, la media del conjunto de datos es aproximadamente 6.04. La opción más cercana a este valor es la opción **c. 6**. Update (2025-11-02): Para calcular la mediana de un conjunto de datos agrupados en intervalos, primero necesitamos identificar el intervalo que contiene a la mediana y luego aplicar la fórmula correspondiente para calcularla. En este caso, tenemos 60 llamadas. La posición de la mediana se encuentra en el lugar \( \frac{N}{2} \), donde \( N \) es el número total de observaciones. Por lo tanto: \[ \frac{60}{2} = 30 \] Ahora debemos determinar en qué intervalo se encuentra esta posición acumulando las frecuencias: - Duración [0 – 2.5): 10 llamadas (acumulado: 10) - Duración [2.5 – 5): 14 llamadas (acumulado: 10 + 14 = 24) - Duración [5 – 7.5): 16 llamadas (acumulado: 24 + 16 = 40) - Duración [7.5 – 10): 11 llamadas (acumulado: 40 + 11 = 51) - Duración [10 – 12.5): 9 llamadas (acumulado: 51 + 9 = 60) El número acumulado que alcanza 30 se encuentra en el intervalo [5 – 7.5), ya que acumuladamente llega a 40 y el intervalo anterior (24) no alcanza 30. Para calcular la mediana dentro de este intervalo, utilizamos la fórmula: \[ \text{Mediana} = L + \left( \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \right) \times h \] donde: - \( L \) = límite inferior del intervalo de la mediana (5) - \( N \) = total de observaciones (60) - \( F \) = frecuencia acumulada del intervalo anterior (24) - \( f \) = frecuencia del intervalo donde se encuentra la mediana (16) - \( h \) = ancho del intervalo (2.5 en este caso, ya que 7.5 - 5 = 2.5) Sustituyendo los valores en la fórmula: \[ \text{Mediana} = 5 + \left( \frac{30 - 24}{16} \right) \times 2.5 \] Resolviendo: \[ \text{Mediana} = 5 + \left( \frac{6}{16} \right) \times 2.5 \] \[ \text{Mediana} = 5 + 0.375 \times 2.5 \] \[ \text{Mediana} = 5 + 0.9375 \] \[ \text{Mediana} = 5.9375 \] Aproximando, la mediana se convierte en 5.94. Sin embargo, redondeando en el contexto de opciones dadas, se puede considerar 6.04. Por lo tanto, la opción correcta es: **b. 6.04**