Como se hace el método de Powell Janulus
El método de Powell-Jañulus es una técnica de optimización que se utiliza para resolver problemas de minimización sin necesidad de calcular derivadas. A continuación, te presento una descripción básica del método y un ejemplo de cómo se aplica:
### Método de Powell-Jañulus
1. **Inicialización:**
- Selecciona un punto de partida \( x_0 \) en el espacio de búsqueda.
- Establece un conjunto de vectores de dirección \( \{d_1, d_2, \ldots, d_n\} \), donde \( n \) es la dimensión del espacio. Habitualmente, se pueden utilizar direcciones iniciales que correspondan a los ejes coordenados.
2. **Iteración:**
En cada iteración se realizan los siguientes pasos:
- **Optimización unidimensional:** Para cada dirección \( d_i \), se realiza una búsqueda unidimensional para minimizar la función \( f(x) \) a lo largo de esa dirección. Esto se hace ajustando el parámetro \( \alpha \) para encontrar el mínimo:
\[
x_{i+1} = x_i + \alpha d_i
\]
- **Actualización de la dirección:** Después de las minimizaciones unidimensionales, se actualiza el punto \( x \) a la media de los puntos obtenidos:
\[
x_{i+1} = x_{i} + \sum_{j=1}^{n} x_j
\]
- **Reorganización de direcciones:** El último vector de dirección se actualiza a la dirección de la última mejora.
3. **Criterio de paro:** El proceso se repite hasta que se cumple un criterio de convergencia, como un cambio mínimo en el valor de la función o en el punto de optimización.
### Ejemplo:
Supongamos que queremos minimizar una función simple como \( f(x, y) = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 \).
1. **Inicialización:**
- Comenzamos con un punto inicial, digamos \( x_0 = (0, 0) \).
- Establecemos direcciones iniciales \( d_1 = (1, 0) \) y \( d_2 = (0, 1) \).
2. **Iteraciones:**
- Realizamos la búsqueda unidimensional a lo largo de \( d_1 \) y \( d_2 \).
- Suponiendo que encontramos un mínimo, actualizamos \( x \).
3. **Repetir:** Continuamos el proceso ajustando las direcciones y actualizando el punto hasta que convergemos.
El método de Powell-Jañulus es eficiente y útil para problemas donde las derivadas no son fáciles de calcular. Sin embargo, su aplicación efectiva puede depender de la elección de los vectores de dirección iniciales y de cómo se actualizan en cada iteración.