Como se hace el método de Powell Janulus

El método de Powell-Jañulus es una técnica de optimización que se utiliza para resolver problemas de minimización sin necesidad de calcular derivadas. A continuación, te presento una descripción básica del método y un ejemplo de cómo se aplica: ### Método de Powell-Jañulus 1. **Inicialización:** - Selecciona un punto de partida \( x_0 \) en el espacio de búsqueda. - Establece un conjunto de vectores de dirección \( \{d_1, d_2, \ldots, d_n\} \), donde \( n \) es la dimensión del espacio. Habitualmente, se pueden utilizar direcciones iniciales que correspondan a los ejes coordenados. 2. **Iteración:** En cada iteración se realizan los siguientes pasos: - **Optimización unidimensional:** Para cada dirección \( d_i \), se realiza una búsqueda unidimensional para minimizar la función \( f(x) \) a lo largo de esa dirección. Esto se hace ajustando el parámetro \( \alpha \) para encontrar el mínimo: \[ x_{i+1} = x_i + \alpha d_i \] - **Actualización de la dirección:** Después de las minimizaciones unidimensionales, se actualiza el punto \( x \) a la media de los puntos obtenidos: \[ x_{i+1} = x_{i} + \sum_{j=1}^{n} x_j \] - **Reorganización de direcciones:** El último vector de dirección se actualiza a la dirección de la última mejora. 3. **Criterio de paro:** El proceso se repite hasta que se cumple un criterio de convergencia, como un cambio mínimo en el valor de la función o en el punto de optimización. ### Ejemplo: Supongamos que queremos minimizar una función simple como \( f(x, y) = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 \). 1. **Inicialización:** - Comenzamos con un punto inicial, digamos \( x_0 = (0, 0) \). - Establecemos direcciones iniciales \( d_1 = (1, 0) \) y \( d_2 = (0, 1) \). 2. **Iteraciones:** - Realizamos la búsqueda unidimensional a lo largo de \( d_1 \) y \( d_2 \). - Suponiendo que encontramos un mínimo, actualizamos \( x \). 3. **Repetir:** Continuamos el proceso ajustando las direcciones y actualizando el punto hasta que convergemos. El método de Powell-Jañulus es eficiente y útil para problemas donde las derivadas no son fáciles de calcular. Sin embargo, su aplicación efectiva puede depender de la elección de los vectores de dirección iniciales y de cómo se actualizan en cada iteración.