Bir civalı termometre, oda sıcaklığı 75°F olan bir ortamdan aniden 400°F sıcaklıktaki yağ banyosuna daldırılıyor. Termometre okuma sonuçları aşağıdaki tabloda verilmiştir: Zaman (sn) Okunan Termometre Sıcaklığı (°F) 0 75 1 107 2.5 140 5 205 8 244

Bir civalı termometre gibi bir nesnenin sıcaklığa karşı tepki süresi genellikle Newton'un soğuma yasası ile tanımlanır. Bu durum, sıcaklığın zamana göre değişimini modelleyen bir diferansiyel denklemi ortaya çıkarır. Newton'un soğuma yasasına göre: \[ \frac{dT}{dt} = k(T_s - T) \] Burada: - \( T \): Termometrenin sıcaklığı (°F) - \( T_s \): Ortam sıcaklığı (bu durumda 400°F) - \( k \): Zaman sabiti (k > 0) - \( t \): Zaman (saniye) Termometrenin başlangıç sıcaklığı \( T_0 = 75°F\) ve ortam sıcaklığı \( T_s = 400°F\) olduğuna göre bu denklemi çözerek sıcaklık değişimini elde edebiliriz. Daha sonra sıcaklığı aşağıdaki gibi ifade edebiliriz: \[ T(t) = T_s + (T_0 - T_s) e^{-kt} \] Buradan: \[ T(t) = 400 + (75 - 400) e^{-kt} = 400 - 325 e^{-kt} \] Zaman sabiti \( \tau \) için aşağıdaki eşitlikten faydalanacağız: \[ \tau = \frac{1}{k} \] Yani \( k \)'yı bulmak için sıcaklığı zamanla ilişkin verilere göre hesaplayacağız. Yukarıdaki formulü ise şu şekilde yazabiliriz: \[ \frac{T(t) - 400}{-325} = e^{-kt} \] Her iki tarafın doğal logarithmasını alarak \( k \)'yı bulmak için denklemi dönüştüreceğiz: \[ \ln\left(\frac{T(t) - 400}{-325}\right) = -kt \] Buradan \( k \) değerini hesaplayabiliriz. Aşağıdaki sıcaklık ve zaman değerlerini kullanarak \( k \)'yı bulabiliriz. İlk olarak sıcaklık okuma değerlerini saatle dönüştürmeliyiz. Örneğin, t = 1 saniye için: \[ \ln\left(\frac{107 - 400}{-325}\right) = -k \cdot 1 \] Devam ederek diğer zaman ve sıcaklık değerleri için benzer hesaplamalar yapabiliriz. Yine aynı şekilde t = 2.5, t = 5, t = 8, t = 10, t = 15 ve t = 30 için de işlemleri gerçekleştiririz. Hesapladıktan sonra tüm elde edilen \( k \) değerlerini ortalayıp \( \tau \) değerini bulacaksınız. Hesaplamaları aşağıdaki gibi yapabilirsiniz: Örnek bir hesaplama: 1. Zaman: \( t = 1 \) s, sıcaklık: \[ \ln\left(\frac{107 - 400}{-325}\right) = \ln\left(\frac{-293}{-325}\right) = \ln(0.901538) \] \[ = -0.1041 \text{ (yaklaşık)} \] Rastgele her bir dakika verisi için aynı işlemleri yaparak \( k \) değerini hesaplayın ve doğrusal regresyon ile ortalama bir \( k \) ve dolayısıyla \( \tau \) değerini bulabilirsiniz. Çeşitli hesaplamaların ardından, termometre için ortalama bir \( k \) değeri bulduğunuzda, zaman sabitini aşağıdaki gibi hesaplayın: \[ \tau = \frac{1}{k} \] Sonuçta elde edeceğiniz \( \tau \) değeri, termometrenin zaman sabiti olacaktır.