要求解积分 \(\int \frac{1}{x^5 + 1} \, dx\)，我们可以使用部分分式分解的方法。
首先，我们可以对 \(x^5 + 1\) 进行因式分解：
\[
x^5 + 1 = (x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)
\]
这样，积分可以写成：
\[
\int \frac{1}{(x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)} \, dx
\]
接下来，我们应用部分分式分解：
\[
\frac{1}{(x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx^3 + Cx^2 + Dx + E}{x^4 - x^3