دالة اشباع : UT=2X3/2Y1/2 (X):Px=9 (Y):Py=3 R=480 احسب قيم توازن هذا المستهلك اثبت رياضيا ان دالة الاشباع تتحذ وضع التعظيم وان قيم التوازن هي قيم ذات الدالة ما قيمة المنفعة الكلية التي يتحصل عليها هذا المستهلك لاستهلاكه السلعتين YوX احسب المن

لإيجاد قيم التوازن لهذا المستهلك، سنستخدم دالة الإشباع المعطاة وهي: \[ U = 2X^{3/2}Y^{1/2} \] حيث \( P_x = 9 \) و \( P_y = 3 \) و \( R = 480 \). أولاً، نحسب عدد الوحدات التي يستهلكها المستهلك من السلعتين X و Y باستخدام قيد الميزانية: \[ P_x \cdot X + P_y \cdot Y = R \] يمكن استبدال القيم المعطاة: \[ 9X + 3Y = 480 \] ثم نجد معادلة الميزانية بالنسبة إلى Y: \[ Y = \frac{480 - 9X}{3} \] الآن سنقوم بتطبيق طريقة الاشتقاق لإيجاد القيم المثلى: نشتق دالة الإشباع بالنسبة لـ X و Y ونساويهما بالنسبة للأسعار: 1. اشتقاق الدالة بالنسبة لـ X: \[ \frac{\partial U}{\partial X} = 2 \cdot \frac{3}{2} X^{1/2} Y^{1/2} = 3 X^{1/2} Y^{1/2} \] 2. اشتقاق الدالة بالنسبة لـ Y: \[ \frac{\partial U}{\partial Y} = 2 \cdot \frac{1}{2} X^{3/2} Y^{-1/2} = X^{3/2} Y^{-1/2} \] نساوي الناتجين بالنسبة للمعدلات السعري: \[ \frac{\frac{\partial U}{\partial X}}{P_x} = \frac{\frac{\partial U}{\partial Y}}{P_y} \] أي: \[ \frac{3 X^{1/2} Y^{1/2}}{9} = \frac{X^{3/2} Y^{-1/2}}{3} \] ختصر الصيغة: \[ \frac{X^{1/2} Y^{1/2}}{3} = \frac{X^{3/2}}{9 Y^{1/2}} \] نبدأ بإعادة ترتيب المعادلة: \[ 3X^{1/2} \cdot Y^{1/2} \cdot Y^{1/2} = X^{3/2} \] \[ 3Y = X \] ثم نعوض عن Y في معادلة الميزانية: \[ 9X + 3 \left(\frac{X}{3}\right) = 480 \] وبحل المعادلة، نحصل على: \[ 9X + X = 480 \] \[ 10X = 480 \] \[ X = 48 \] وبتعويض X في معادلة Y نجد: \[ Y = \frac{480 - 9 \cdot 48}{3} \] \[ = \frac{480 - 432}{3} = \frac{48}{3} = 16 \] ### النتيجة النهائية لقيم التوازن - \( X = 48 \) - \( Y = 16 \) ### حساب المنفعة الكلية الآن لحساب المنفعة الكلية \( U \): \[ U = 2 \cdot (48)^{3/2} \cdot (16)^{1/2} \] حساب القيم: \[ (48)^{3/2} = (48) \cdot (48)^{1/2} = 48 \cdot \sqrt{48} \] و \( \sqrt{48} \approx 6.93 \) لذا: \[ 48 \cdot 6.93 \approx 333.6 \] \[ U \approx 2 \cdot 333.6 \cdot 4 = 2676.8 \] ### المنفعة الحدية للنقود للسلعة Y لحساب المنفعة الحدية للنقود للسلعة Y، نحسب المنفعة الحدية للسلعة Y: \[ MU_Y = \frac{\partial U}{\partial Y} = X^{3/2} Y^{-1/2} \] تعوض عن القيم الموجودة: \[ MU_Y = (48)^{3/2} \cdot (16)^{-1/2} \] نحسب: \[ (16)^{-1/2} = \frac{1}{4} \] لذا: \[ MU_Y \approx \frac{(48)^{3/2}}{4} \] \( (48)^{3/2} \approx 333.6 \) وبالتالي: \[ MU_Y \approx \frac{333.6}{4} = 83.4 \] ### التفسير الاقتصادي قيمة المنفعة الحدية للنقود للسلعة Y تدل على مقدار المستوى الإضافي من المنفعة الذي ستحصل عليه من وحدة مالية إضافية تُنفق على السلعة Y. القيمة المحسوبة 83.4 توضح أن المستهلك يتلقى منفعة إضافية كبيرة مقابل كل وحدة من النقود تُنفَق على السلعة Y، مما يبرر إمكانية إنفاقه المزيد من المال على السلعة إذا تم التعرض لنفس القيمة في السياسات السعرية.