6 Analice la potencia de las unidades imaginarias 6.1 ⅈ 321 a) 1 b) -1 c) ⅈ d) −ⅈ 6.2 ⅈ 21 + 2ⅈ 32 = a) −ⅈ + 1 b) 1 + ⅈ c) −ⅈ + 2 d) ⅈ + 2 6.3 ⅈ 4 . 2ⅈ 2 . ⅈ 64= a) −ⅈ b) 2 c) −2 d) 1 6.4 Una de las raíces de √𝟏𝟎 + 𝟏𝟎 𝒊 𝟑 es a)

Vamos a analizar cada una de las preguntas sobre potencias de la unidad imaginaria \( i \): ### 6.1 \( i^{321} \) La potencia de la unidad imaginaria \( i \) se repite cada 4: - \( i^1 = i \) - \( i^2 = -1 \) - \( i^3 = -i \) - \( i^4 = 1 \) - \( i^5 = i \), y así sucesivamente. Para encontrar \( i^{321} \), calculamos \( 321 \mod 4 \): - \( 321 \div 4 = 80 \) (cociente) y un residuo de \( 1 \). Por lo tanto, \( i^{321} = i^1 = i \). **Respuesta:** c) \( i \) --- ### 6.2 \( i^{21} + 2i^{32} \) Primero, calculemos cada potencia: - \( i^{21} \): \( 21 \mod 4 = 1 \), por lo que \( i^{21} = i \). - \( i^{32} \): \( 32 \mod 4 = 0 \), por lo que \( i^{32} = 1 \). Ahora, sumamos: \[ i^{21} + 2i^{32} = i + 2(1) = i + 2. \] **Respuesta:** d) \( i + 2 \) --- ### 6.3 \( i^4 \cdot 2i^2 \cdot i^{64} \) Calculamos cada potencia: - \( i^4 = 1 \) - \( i^2 = -1 \) - \( i^{64} = (i^4)^{16} = 1^{16} = 1 \) Ahora, multiplicamos: \[ i^4 \cdot 2i^2 \cdot i^{64} = 1 \cdot 2(-1) \cdot 1 = 2(-1) = -2. \] **Respuesta:** c) -2 --- ### 6.4 Una de las raíces de \( \sqrt{10 + 10i} \) Para encontrar una raíz cuadrada compleja, usamos el método de representación polar o simplemente comprobando las opciones dadas. Primero, escribimos \( 10 + 10i \) en forma polar: - La magnitud es \( \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \). - El argumento \( \theta \) es \( \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \). Entonces, se tiene: \[ 10 + 10i = 10\sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right). \] La raíz cuadrada es: \[ \sqrt{10 + 10i} = \sqrt{10\sqrt{2}} \left( \cos\frac{\pi/8} + i\sin\frac{\pi/8} \right) = \sqrt{10}\sqrt[4]{2} \left( \cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8} \right). \] Pero para una respuesta específica, evaluamos las opciones: Si tomamos, por ejemplo, \( \sqrt{200} \), se puede descomponer como \( \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \). No puedo calcular directamente cuál de las opciones es, pero tienes que ver qué opción se ajusta a la forma \( \sqrt{200} z(e^{i\theta/2}) \). Debes revisar cada opción para sustentar cuál corresponde a una raíz cuadrada del número dado, en términos de magnitudes y ángulos. Aunque me sería difícil seleccionar solo una opción sin más datos, cual de las respuestas sería adecuado a esto. **Respuestas Correctas: (Analiza las opciones)**.