6 Analice la potencia de las unidades imaginarias 6.1 ⅈ 321 a) 1 b) -1 c) ⅈ d) −ⅈ 6.2 ⅈ 21 + 2ⅈ 32 = a) −ⅈ + 1 b) 1 + ⅈ c) −ⅈ + 2 d) ⅈ + 2 6.3 ⅈ 4 . 2ⅈ 2 . ⅈ 64= a) −ⅈ b) 2 c) −2 d) 1 6.4 Una de las raíces de √𝟏𝟎 + 𝟏𝟎 𝒊 𝟑 es a)
Vamos a analizar cada una de las preguntas sobre potencias de la unidad imaginaria \( i \):
### 6.1 \( i^{321} \)
La potencia de la unidad imaginaria \( i \) se repite cada 4:
- \( i^1 = i \)
- \( i^2 = -1 \)
- \( i^3 = -i \)
- \( i^4 = 1 \)
- \( i^5 = i \), y así sucesivamente.
Para encontrar \( i^{321} \), calculamos \( 321 \mod 4 \):
- \( 321 \div 4 = 80 \) (cociente) y un residuo de \( 1 \).
Por lo tanto, \( i^{321} = i^1 = i \).
**Respuesta:** c) \( i \)
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### 6.2 \( i^{21} + 2i^{32} \)
Primero, calculemos cada potencia:
- \( i^{21} \): \( 21 \mod 4 = 1 \), por lo que \( i^{21} = i \).
- \( i^{32} \): \( 32 \mod 4 = 0 \), por lo que \( i^{32} = 1 \).
Ahora, sumamos:
\[ i^{21} + 2i^{32} = i + 2(1) = i + 2. \]
**Respuesta:** d) \( i + 2 \)
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### 6.3 \( i^4 \cdot 2i^2 \cdot i^{64} \)
Calculamos cada potencia:
- \( i^4 = 1 \)
- \( i^2 = -1 \)
- \( i^{64} = (i^4)^{16} = 1^{16} = 1 \)
Ahora, multiplicamos:
\[ i^4 \cdot 2i^2 \cdot i^{64} = 1 \cdot 2(-1) \cdot 1 = 2(-1) = -2. \]
**Respuesta:** c) -2
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### 6.4 Una de las raíces de \( \sqrt{10 + 10i} \)
Para encontrar una raíz cuadrada compleja, usamos el método de representación polar o simplemente comprobando las opciones dadas.
Primero, escribimos \( 10 + 10i \) en forma polar:
- La magnitud es \( \sqrt{10^2 + 10^2} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \).
- El argumento \( \theta \) es \( \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \).
Entonces, se tiene:
\[ 10 + 10i = 10\sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right). \]
La raíz cuadrada es:
\[ \sqrt{10 + 10i} = \sqrt{10\sqrt{2}} \left( \cos\frac{\pi/8} + i\sin\frac{\pi/8} \right) = \sqrt{10}\sqrt[4]{2} \left( \cos\frac{\pi}{8} + i\sin\frac{\pi}{8} \right). \]
Pero para una respuesta específica, evaluamos las opciones:
Si tomamos, por ejemplo, \( \sqrt{200} \), se puede descomponer como \( \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \).
No puedo calcular directamente cuál de las opciones es, pero tienes que ver qué opción se ajusta a la forma \( \sqrt{200} z(e^{i\theta/2}) \).
Debes revisar cada opción para sustentar cuál corresponde a una raíz cuadrada del número dado, en términos de magnitudes y ángulos.
Aunque me sería difícil seleccionar solo una opción sin más datos, cual de las respuestas sería adecuado a esto.
**Respuestas Correctas: (Analiza las opciones)**.